微积分是现代数学的重要分支，而关于微积分的一些基本定理值得总结一下。
一、微积分基本定理
微积分基本定理是一个广为熟知的定理，也是最简单的。一方面，被积函数是一元标量函数，另一方面，积分指的也是常用的黎曼积分。如果再进行细分的话，可大致将微积分基本定理分为两种表述，一种是不定积分形式，另一种是定积分形式。
第一种形式可以理解为求导的逆过程，具体表述为：
F(x)必然是连续可微的
定理1的证明也比较简单，仅需要抓住导数的定义，并结合积分中值定理即可！
准确地说，F在a处的右导存在，且等于f在a处的右极限；F在b处的左导存在，且等于f在b处的左极限
第二种形式有时又称为求值定理(The evaluation theorem).
The Fundamental Theorem of Calculus
证明过程也比较简单，根据黎曼积分的定义，对区间做相应的分割（随着分割越来越细，小区间的长度均趋于0），并结合拉格朗日中值定理即可！
黎曼积分三部曲——分割、求和、取极限
二、梯度基本定理
在微积分基本定理中，被积函数是一元标量函数。当研究对象从一元标量函数推广为多元标量函数时，先前的数学工具——导数就不适用了，此时需要引入新的数学工具——梯度。梯度是多元函数增长率最快的方向，它在诸多领域都有广泛的应用，在最优化中，负梯度通常作为迭代方向；在静电学中，电场可以写成某个势函数的梯度；此外，梯度下降算法也是机器学习和深度学习的重要基石！
梯度的定义
当导数被替换为梯度时，可以得到一个在形式上与微积分基本定理颇为类似的结论，但此时的积分变成了线积分。
Fundamental Theorem for Line Integrals
结合多元函数偏导数的链式法则，可以证明此定理:
此处的线积分指的是第二型曲线积分
在物理学中，上述定理还可以写成另一种形式：
The Fundamental Theorem for Gradients
三、散度定理和Stokes定理
当标量函数进一步推广到矢量函数时，还可以得出新的结论！为简化问题，此处限定矢量函数是三维的、自变量的个数为3，并引入散度和旋度的概念。
散度和旋度的定义
散度定理又称高斯定理，它建立起了第二型曲面积分和三重积分之间的联系：
Divergence Theorem
诚然，这个定理的证明有一定的难度；事实上，更严谨的表述中，会对边界曲面做一个限定——逐片光滑曲面，下面的证明过程是其中一种方法：
The Proof of Divergence Theorem
相应地，关于旋度也有一个基本定理，也就是赫赫有名的stokes定理：
Stokes‘ Theorem